Question

已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=

25

2

，O為BC上一點，BO=

7

2

，如圖所示，以BC所在直線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系，M為線段OC上的一點．
（1）若點M的坐標為（1，0），如圖①，以OM為一邊作等腰△OMP，使點P在矩形ABCD的一邊上，則符合條件的等腰三角形有幾個？請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；
（2）若將（1）中的點M的坐標改為（4，0），其它條件不變，如圖②，那么符合條件的等腰三角形有幾個？求出所有符合條件的點P的坐標；
（3）若將（1）中的點M的坐標改為（5，0），其它條件不變，如圖③，請直接寫出符合條件的等腰三角形有幾個．（不必求出點P的坐標）

Answer 1

分析：（1）OM的長是1，小于矩形的寬，也小于OB的長，所以點P只能是OM的垂直平分線與AD的交點；
（2）OM的長是4，等于矩形的寬，所以點P可以是過O、M的垂線與AD的交點，也可以是OM的垂直平分線與AD的交點，又OM的長大于OB的長，所以點P也可以在AB上；
（3）OM的長是5，大于矩形的寬，所以點P可以在過O、M的垂線與AD的交點的兩側各一個，也可以是OM的垂直平分線與AD的交點，又OM的長大于OB的長也大于MC的長，所以點P也可以在AB和CD上，共有7個．

解答：解：（1）符合條件的等腰△OMP只有1個；
點P的坐標為（

1

2

，4）；

（2）符合條件的等腰△OMP有4個．
如圖②，在△OP₁M中，OP₁=OM=4，
在Rt△OBP₁中，BO=

7

2

，
BP₁=

O P 2 1 -OB2

=

42-( 7 2 )2

=

15

2

，
∴P₁（-

7

2

，

15

2

）；（5分）
在Rt△OMP₂中，OP₂=OM=4，
∴P₂（0，4）；
在△OMP₃中，MP₃=OP₃，
∴點P₃在OM的垂直平分線上，
∵OM=4，
∴P₃（2，4）；
在Rt△OMP₄中，OM=MP₄=4，
∴P₄（4，4）；

（3）若M（5，0），則符合條件的等腰三角形有7個．
點P的位置如圖③所示．

點評：根據OM的長與矩形的寬的大小確定點P的位置主要在AD邊上的情況，需要注意的是當OM的長大于OB（或MC）時，點P也可以在AB（或CD）上的情況，學生容易忽視．