Question

一個完全平方數n的最后k（k≥2）位數字是相同的非零數字a，問：
（1）a為哪個數字？
（2）k最大為多少？
（3）當k最大時，寫出最小的具有這樣性質的數．（不必證明）

Answer 1

解：（1）一個平方數的末位數字（非0）只能是1，4，5，6，9．
∴數n的末二位必然是11，44，55，66，99，
又n為平方數，
∴n≡0或1（mod4）．
而末二位是11，55，99的數同余于3（mod4），
末二位是66的數同余于2（mod4）．
∴a只能為4，如144=12²．

（2）若至少有連續4個4，即n=m²=t•10⁴+4444．
∴可設m=2m₁，m₁²=25t•10²+1111≡3（mod4）．
同（1）可知，25t•10²+1111不能為完全平方數．
∴至多連續3個4．（能夠做到，見（3））

（3）當k最大時，最小的具有這樣性質的數為1444=38²．
分析：（1）一個平方數的末位數字（非0）只能是1，4，5，6，9，由此得到數n的末二位必然是11，44，55，66，99，又n為平方數，∴n≡0或1（mod4），而末二位是11，55，99的數同余于3（mod4），末二位是66的數同余于2（mod4），由此得到a只能為4；
（2）若至少有連續4個4，即n=m²=t•10⁴+4444，然后設m=2m₁，m₁²=25t•10²+1111≡3（mod4），根據（1）可知，25t•10²+1111不能為完全平方數，所以至多連續3個4；
（3）當k最大時，最小的具有這樣性質的數為1444=38²．
點評：本題考查了完全平方公式，主要利用余數定理來解題，根據同余來判斷問題的正確與錯誤．