Question

一個完全平方數n的最后k（k≥2）位數字是相同的非零數字a，問：
（1）a為哪個數字？
（2）k最大為多少？
（3）當k最大時，寫出最小的具有這樣性質的數．（不必證明）

Answer 1

（1）一個平方數的末位數字（非0）只能是1，4，5，6，9．
∴數n的末二位必然是11，44，55，66，99，
又n為平方數，
∴n≡0或1（mod4）．
而末二位是11，55，99的數同余于3（mod4），
末二位是66的數同余于2（mod4）．
∴a只能為4，如144=12²．

（2）若至少有連續4個4，即n=m²=t?10⁴+4444．
∴可設m=2m₁，m₁²=25t?10²+1111≡3（mod4）．
同（1）可知，25t?10²+1111不能為完全平方數．
∴至多連續3個4．（能夠做到，見（3））

（3）當k最大時，最小的具有這樣性質的數為1444=38²．