Question

20．如圖1所示，在圖中作出兩條直線，就能使它們將圓面四等分．研究圖1中的思想方法解決以下問題：
（1）如圖2，M是正方形ABCD內一定點，請在圖2中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點M），使它們將正方形ABCD的面積四等分，不必說明理由；
（2）如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點P是AD的中點．如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在邊BC上是否存在一點Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過對圖（1）的分析，根據中心對稱圖形性質，連接正方形對角線AB、CD，相較于點O，連接OM交正方形邊于點E、F，過點O做EF的垂線，交正方形邊于點G、H，則直線EF、GH即為所求．
（2）存在，當BQ=CD=b時，PQ將四邊形ABCD的面積二等分．利用全等三角形△ABP≌△DEP性質，證明S_△BPC=S_△EPC，利用面積分析，即可得出BQ=b．

解答 解：（1）通過對圖（1）的分析，得出以下結論，
過中心對稱圖形的對稱中心任何一條直線可以平分圖形面積．
如下圖：連接正方形對角線AB、CD，相較于點O，
連接OM交正方形邊于點E、F，
過點O做EF的垂線，交正方形邊于點G、H，
則直線EF、GH即為所求．



（2）存在，當BQ=CD=b時，PQ將四邊形ABCD的面積二等分．
如下圖，連接BP并延長交CD的延長線于點E，

∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDP，
在△ABP和△DEP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EDP\\;}\\{AP=DP}\\{∠APB=∠DPE}\end{array}\right.$，
△ABP≌△DEP（ASA），
∴BP=EP，
連接CP，
∵△BPC的邊BP和△EPC的邊EP上的高相等，
又∵BP=EP，
∴S_△BPC=S_△EPC，
作PF⊥CD，PG⊥BC，則BC=AB+CD=DE+CD=CE，
由三角形面積公式得：PF=PG，
在CB上截取CQ=DE=AB=a，則S_△CQP=S_△DEP=S_△ABP
∴S_△BPC-S_△CQP+S_△ABP=S_△CPE-S_△DEP+S_△CQP
即：S_{四邊形ABQP}=S_{四邊形CDPQ}，
∵BC=AB+CD=a+b，
∴BQ=b，
∴當BQ=b時，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分．

點評 題目考查了圓及其它圖形二等分面積，通過對圖形性質的分析，考察學生的觀察能力、分析能力和解決問題的能力，題目整體較難，對學生整體能力要求較高．