Question

如圖，圓內接四邊形ABCD，AB是⊙O的直徑，OD⊥BC于E．
（1）求證：∠BCD=∠CBD；
（2）若BE=4，AC=6，求DE．

Answer 1

分析：（1）根據OD⊥BC于E可知

BD

=

CD

，所以BD=CD，故可得出結論；
（2）先根據圓周角定理得出∠ACB=90°，再OD⊥BC于E可知OD∥AC，由于點O是AB的中點，所以OE是△ABC的中位線，故OE=

1

2

AC，在Rt△OBE中根據勾股定理可求出OB的長，故可得出DE的長，進而得出結論．

解答：解：（1）∵OD⊥BC于E，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠CBD；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OD⊥BC于E，
∴OD∥AC，
∵點O是AB的中點，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE=

1

2

AC=

1

2

×6=3，
在Rt△OBE中，
∵BE=4，OE=3，
∴OB=

BE2+OE2

=

42+32

=5，即OD=OB=5，
∴DE=OD-OE=5-3=2．

點評：本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵．