Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，∠BCD＝135°，且AB＝3cm，BC＝7cm，CD＝5cm，點M從點A出發沿折線A﹣B﹣C﹣D運動到點D，且在AB上運動的速度為cm/s，在BC上運動的速度為1cm/s，在CD上運動的速度為cm/s，連接AM、DM，當點M運動時間為_____（s）時，△ADM是直角三角形．

Answer 1

【答案】12﹣ 或 ．

【解析】

過點D作DE⊥BC，根據∠BCD＝135°，得∠ECD＝45°，在Rt△CDE中，由CD＝5cm，可得出CE＝DE＝5cm，再根據當點M在AB上時，△ADM是鈍角三角形；當點M在BC上時，△ADM有可能是直角三角形；當點M在CD上時，△ADM是鈍角三角形；分兩種情形分別求解即可．

解：過點D作DE⊥BC，垂足為E，

∵∠BCD＝135°，

∴∠ECD＝45°，

在Rt△CDE中，∵CD＝5cm，

∴由勾股定理得CE＝DE＝5cm，

∴當點M在AB上時，△ADM是鈍角三角形；

當點M在CD上時，△ADM是鈍角三角形；

當點M在BC上時，△ADM有可能是直角三角形；

①當∠AMD＝90°時，∵∠B＝90°，

∴∠BAM+∠AMB＝90°，

∵∠AMD＝90°，

∴∠AMB+∠DME＝90°，

∴∠MAB＝∠DME，

∴△ABM∽△MED，

∴ ，

∵在AB上運動的速度為 cm/s，在BC上運動的速度為1cm/s，

∴設運動時間為t，

∵AB＝3cm，BC＝7cm，

∴BM＝（t﹣6）cm，

∴ME＝MC+EC＝7﹣（t﹣6）+5＝（18﹣t）cm，

∴ ，

解得t＝12 （舍去正號）

∴t＝12﹣ ．

②當∠MAD＝90°時，作AH⊥DE于H．

由△BAM∽△HAD，可得，

∴ ＝ ，

∴BM＝ ，

∴t-6＝ ，解得t= ,

綜上所述，t＝12﹣ 或時，△ADM是直角三角形．

故答案為：12﹣ 或 ．