Question

三等分任意角是三大幾何作圖不能問題之一，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德就設(shè)計(jì)出了一個(gè)巧妙的三等分角的方法：在直尺邊緣上添加一點(diǎn)P，命尺端為O（如圖①）；設(shè)所要三等分的角是∠MCN，以C為圓心，OP為半徑作半圓交給定角的兩邊CM、CN于A、B兩點(diǎn)；移動直尺，使直尺上的O點(diǎn)在AC的延長線上移動，P點(diǎn)在圓周上移動，當(dāng)直尺正好通過B點(diǎn)時(shí)，連OPB，則有∠AOB=

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∠MCN．這種方法由于在直尺上作了一個(gè)記號，不符合尺規(guī)作圖中直尺只能用來連線的規(guī)定，因此還不能算是嚴(yán)格意義上的尺規(guī)作圖．
（1）動手實(shí)踐操作，用以上方法三等分∠MCN，在圖②中畫出圖形并標(biāo)明相應(yīng)字母；
（2）請你就阿基米德的作圖方法給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形即可，注意OP長度不變；
（2）根據(jù)等邊對等角以及三角形外角的性質(zhì)得出∠O+∠PCO=∠1=∠2=2x，即可得出答案．

解答：（1）解：如圖所示：

（2）證明：∵OP=PC=BC，
∴∠O=∠PCO，∠A=∠2，
設(shè)∠O=∠PCO=x，
∴∠O+∠PCO=∠1=∠2=2x，
∴∠3=∠O+∠2=3x，
∴∠AOB=

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∠MCN．

點(diǎn)評：此題主要考查了復(fù)雜作圖以及三角形外角的性質(zhì)以及等邊對等角，根據(jù)已知條件用同一個(gè)未知數(shù)得出∠AOB與∠MCN關(guān)系是解題關(guān)鍵．