Question

已知：如圖：菱形ABCD中，∠BAD=120°，動點P在直線BC上運動，作∠APM=60°，且直線PM與直線CD相交于點Q，Q點到直線BC的距離為QH．

（1）若P在線段BC上運動，求證CP=DQ；
（2）若P在線段BC上運動，探求線段AC、CP、CH的一個數量關系，并證明你的結論；
（3）若動點P在直線BC上運動，菱形ABCD周長為8，AQ=，求QH．（可使用備用圖）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，作PE∥CD交AC于E，可證得△APE≌△QPC，△APQ是等邊三角形，然后再證△AQD、△APC全等即可．
（2）根據AC=CD=CQ+QD=CQ+PC，在Rt△CQH中，∠QCH=60°，那么CQ=2CH，得解；
（3）用方程思想，在Rt△PQH中，結合勾股定理即來解．要注意分兩種情況討論：
①點P在射線BC上時，②點P在CB的延長線上時．（兩種情況下PH的表達式有差別）
解答：（1）證明：作PE∥CD交AC于E，則△CPE是等邊三角形∠EPQ=∠CQP．
又∵∠APE+∠EPQ=60°，∠CQP+∠CPQ=60°
∴∠APE=∠CPQ
又∵∠AEP=∠QCP=120°，PE=PC
∴△APE≌△QPC
∴AE=QC，AP=PQ，
∴△APQ是等邊三角形，
∴∠2+∠3=60°，
∵∠1+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
∴△AQD≌△APC，
∴CP=DQ．

（2）∵AC=CD，CD=CQ+QD，
∴AC=CQ+QD，
∵CP=DQ，
∴AC=CQ+PC，
又∵∠CHQ=90°，∠QCH=60°，
∴∠CQH=30°，
∴CQ=2CH，
∴AC=CP+2CH；

（3）此題分兩種情況討論：
①當點P在射線BC上時；
設CH=x，則QH=x，PC=2-2x，由勾股定理得，
（x）²+（2-x）²=6，解得x=（舍去負的），
∴，∴QH=x=．
②當點P在CB的延長線上時（如圖）；
在Rt△CHQ中，∠PCQ=60°，
設CH=x，QH=x，CQ=2x；
則PH=PC-CH=2+2x-x=2+x；
在Rt△PHQ中，PQ=AQ=，PH=2+x，QH=x，由勾股定理得：
（2+x）²+3x²=6，解得：x=（負值舍去）；
∴QH=x=．
點評：本題是一道綜合性很強的題目，考查了三角形的全等，勾股定理及動點問題，是中考壓軸題，難度較大．