Question

【題目】如圖①，AB為⊙O的直徑，AD與⊙O相切于點A，DE與⊙O相切于點E，點C為DE延長線上一點，且CE=CB．

（1）求證：BC為⊙O的切線；

（2）連接AE并延長與BC的延長線交于點G（如圖②所示）．若AB=，CD=9，求線段BC和EG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】試題分析：（1）連接OE，OC，即可證明△OEC≌△OEC，根據DE與⊙O相切于點E得到OEC=90°，從而證得∠OBC=90°，則BC是圓的切線．

（2）先求線段BC的長，過D作DF⊥BG于F，則四邊形ABFD是矩形，在Rt△DCF中，由切線長定理知AD=DE、CE=BC，利用勾股定理可求得CF的長，設AD=DE=BC，根據CD=9，列出方程即可求出x，△ADE中，由于AD=DE，可得到∠DAE=∠AED=∠CEG，而AD∥BG，根據平行線的內錯角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG，由此可證得CE=CG=CB，即可求得BG的長.

試題解析：（1）證明：如圖1，連接OE，OC；

∵CB=CE，OB=OE，OC=OC

∴△OEC≌△OBC（SSS）

∴∠OBC=∠OEC

又∵DE與⊙O相切于點E

∴∠OEC=90°

∴∠OBC=90°

∴BC為⊙O的切線．

（2）解：如圖2，過點D作DF⊥BC于點F，則四邊形ABFD是矩形，

∵AD，DC，BG分別切⊙O于點A，E，B

∴DA=DE，CE=CB，

在Rt△DFC中，CF==1，

設AD=DE=BF=x，

則x+x+1=9，

x=4，

∵AD∥BG，

∴∠DAE=∠EGC，

∵DA=DE，

∴∠DAE=∠AED；

∵AD∥BG，

∵∠AED=∠CEG，

∴∠EGC=∠CEG，

∴CG=CE=CB=5，

∴BG=10，

在Rt△ABG中，AG==6，

∵AD∥CG，

∴==，

∴EG=×6=．