Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點P是AB邊上的一個動點，連接CP，過點P作PC的垂線交AD于點E，以 PE為邊作正方形PEFG，頂點G在線段PC上，對角線EG、PF相交于點O．

（1）若AP=1，則AE= ；

（2）①求證：點O一定在△APE的外接圓上；

②當點P從點A運動到點B時，點O也隨之運動，求點O經過的路徑長；

（3）在點P從點A到點B的運動過程中，△APE的外接圓的圓心也隨之運動，求該圓心到AB邊的距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②；（3）．

【解析】試題分析：（1）由正方形的性質得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余關系證出∠AEP=∠PBC，得出△APE∽△BCP，得出對應邊成比例即可求出AE的長；

（2）①A、P、O、E四點共圓，即可得出結論；

②連接OA、AC，由勾股定理求出AC=，由圓周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，周長點O在AC上，當P運動到點B時，O為AC的中點，即可得出答案；

（3）設△APE的外接圓的圓心為M，作MN⊥AB于N，由三角形中位線定理得出MN=AE，設AP=x，則BP=4﹣x，由相似三角形的對應邊成比例求出AE的表達式，由二次函數的最大值求出AE的最大值為1，得出MN的最大值=即可．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是正方形，

∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，

∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，

∴∠AEP=∠PBC，∴△APE∽△BCP，

∴，即，解得：AE=，

故答案為： ；

（2）①∵PF⊥EG，∴∠EOF=90°，

∴∠EOF+∠A=180°，∴A、P、O、E四點共圓，

∴點O一定在△APE的外接圓上；

②連接OA、AC，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°，∴AC==，

∵A、P、O、E四點共圓，∴∠OAP=∠OEP=45°，

∴點O在AC上，當P運動到點B時，O為AC的中點，OA=AC=，

即點O經過的路徑長為；

（3）設△APE的外接圓的圓心為M，作MN⊥AB于N，如圖2所示：

則MN∥AE，∵ME=MP，∴AN=PN，∴MN=AE，

設AP=x，則BP=4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，

∴，即，解得：AE= =，

∴x=2時，AE的最大值為1，此時MN的值最大=×1=，

即△APE的圓心到AB邊的距離的最大值為．