Question

如圖，甲船從港口A出發沿北偏東15°方向行駛，同時，乙船也從港口A出發沿西北方向行駛．若干小時之后，甲船位于點C處，乙船位于港口B的北偏東60°方向，距離岸BD邊10海里的P處．并且觀測到此時點B、P、C在同一條直線上．求甲船航行的距離AC為多少海里（結果保留根號）？

Answer 1

分析：作出點P到AB的距離，易得∠B的度數為30°，∠PAB的度數為45°，可得BQ，AQ的長度，也就求得了AB的長度，構造AB為斜邊，∠B為銳角的直角三角形，求得AE的距離，∠EAC的度數，即可求得AC的距離．

解答：解：過A作AE⊥BC于點E，過P作PQ⊥BD于點Q．
由題意得∠B=30°，
∵PQ=10，tanB=

3

3

，
∴BQ=10

3

，
∵乙船也從港口A出發沿西北方向行駛．
∴∠PAQ=45°，
∴AQ=10，
∴AB=10

3

+10，
∵sinB=

1

2

，
∴AE=5

3

+5，
∵∠BAC=90°+15°=105°，∠BAE=60°，
∴∠EAC=45°，
∵AE⊥BC，
∴AC=5

6

+5

2

．
答：甲船航行的距離AC為（5

6

+5

2

）海里．

點評：本題綜合考查了解直角三角形的應用；判斷出所給角的度數是解決本題的突破點；構造出特殊角所在的兩個直角三角形是解決本題的關鍵．