Question

如圖，在菱形ABCD中，P是對角線AC上的一點，且PA＝PD，⊙O為△APD的外接圓．

（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若AC＝8，tan∠DAC＝，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

（1）直線AB與⊙O相切．

連結OA、OP，設OP與AD交于點H．

∵PA＝PD，∴P為的中點

∴OP⊥AD，∴∠AHP＝90°

∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DAC＝∠BAC，

又∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA．

∵在Rt△AHP中，∠DAP＋∠OPA＝90°．

∴∠OAB＝∠OAP＋∠BAC＝∠OPA＋∠DAP＝90°．

即OA⊥AB，

∵點A在⊙O上，∴直線AB與⊙O相切．

（2）連結BD交AC于點E，則AC⊥BD．設⊙O的半徑為r．

∵在Rt△AED中，AC＝8，tan∠DAC＝，∴DE＝2    

由勾股定理，得AD＝＝＝2，∴AH＝．

在Rt△AHP中，由，tan∠DAC＝，得HP＝

在Rt△AHO中，由勾股定理得：AH²＋OH²＝OA²，即（）²＋（r－）²＝r ²，

解得：r＝．