Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形M和點(diǎn)P（點(diǎn)P在M內(nèi)部或M上），給出如下定義：

如果圖形M上存在點(diǎn)Q，使得，那么稱(chēng)點(diǎn)P為圖形M的和諧點(diǎn)．

已知點(diǎn)，，，．

（1）在點(diǎn)，，中，矩形的和諧點(diǎn)是_________________；

（2）如果直線上存在矩形的和諧點(diǎn)P，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的取值范圍；

（3）如果直線上存在矩形的和諧點(diǎn)E，F，使得線段上的所有點(diǎn)（含端點(diǎn)）都是矩形的和諧點(diǎn)，且，求出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)和；(2) 或；(3) 2≤b＜3或-3＜b≤-2.

【解析】

(1)如下圖1中，根據(jù)點(diǎn)P為圖形M的和諧點(diǎn)的定義，觀察圖形可知P1和P3是矩形ABCD的和諧點(diǎn).

(2)如圖2中，求出滿足條件的P1、P2、P3、P4的坐標(biāo)即可判斷.

(3)當(dāng)b=3時(shí)，圖中線段EF上的點(diǎn)都是和諧點(diǎn)，且，當(dāng)將直線往y軸負(fù)半軸平移時(shí)剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，此時(shí)上的點(diǎn)都是和諧點(diǎn)，且，當(dāng)再往下平移時(shí)，EF上有部分點(diǎn)不再是和諧點(diǎn)，由此求出b的范圍為2≤b＜3；根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，-3＜b≤-2也滿足.

(1)如下圖1中，根據(jù)點(diǎn)P為圖形M的和諧點(diǎn)的定義，觀察圖形可知：

到矩形邊AD和AB的最短距離為2，符合和諧點(diǎn)的定義；

到矩形四邊的距離均大于2，不符合和諧點(diǎn)的定義；

是矩形邊AD的距離為0，符合和諧點(diǎn)的定義；

故是和諧點(diǎn)的是點(diǎn)和.

故答案為：和.

(2)如圖2中：

當(dāng)直線上的點(diǎn)P到直線AB的距離為2時(shí)，可得和均滿足和諧點(diǎn)的定義，此時(shí)均是和諧點(diǎn)，故此時(shí)的取值范圍是：；

當(dāng)直線上的點(diǎn)P到直線AD的距離為2時(shí)，可得和均滿足和諧點(diǎn)的定義，此時(shí)均是和諧點(diǎn)，故此時(shí)的取值范圍是：；

故滿足條件的的取值范圍是：或.

故答案為：或.

(3)如下圖3所示：

當(dāng)b=3時(shí)，圖中線段EF上的點(diǎn)都是和諧點(diǎn)，且，

當(dāng)將直線往y軸負(fù)半軸平移且剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-2,1)，

將點(diǎn)M(-2,1)代入解析式，

即：，解得：b=2，且此時(shí)

故此時(shí)b的范圍為2≤b＜3，

同理，由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)-3＜b≤-2也滿足條件.

故b的取值范圍為：2≤b＜3或-3＜b≤-2.