Question

【題目】（1）尺規作圖：如圖1，請在x軸上作出表示（，0）的點（保留清晰作圖痕跡，不寫作法）．

（2）如圖2，已知點A（4，2），點B在x軸上，若∠OAB=90°，試求點B的坐標；

（3）如圖3，已知點A（4，2），點C在x軸上，若△OAC為等腰三角形，試求點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）（5，0）；（3）（8，0），（2.5，0），（，0），（-，0）．

【解析】

（1）過2作y軸的垂線，過－4作x軸的垂線，交于點B，連接OB，以O為圓心，OB為半徑作弧交x軸負半軸于點A，則點A就是所求的點．

（2）用待定系數法求出直線OA的解析式．設直線AB為y=ax+b，由BA⊥OA，得到a=－2，把A（4，2）代入得到b的值，從而得到直線AB的解析式，令y=0，求得x的值，即可得到結論．

（3）分三種情況討論：①以O為圓心，OA為半徑作圓O交x軸于點C1，C2；②以A為圓心，OA為半徑作圓A交x軸于點O，C3；③作OA的垂直平分線交x軸于點C4．分別求出點C的坐標即可．

（1）如圖，過2作y軸的垂線，過－4作x軸的垂線，交于點B，連接OB，以O為圓心，OB為半徑作弧交x軸負半軸于點A，則OA=OB=，∴A（，0）．

（2）設直線OA為y=kx，把A（4，2）代入得：2=4k，解得：k=，∴直線OA的解析式為y=x．設直線AB為y=ax+b．

∵BA⊥OA，則a=－2，∴直線AB為y=－2x+b，把A（4，2）代入得：2=－2×4+b，解得：b=10，∴y=－2x+10．在y=－2x+10中，令y=0，解得：x=5，∴B（5，0）．

（3）分三種情況討論：

①以O為圓心，OA為半徑作圓O交x軸于點C1，C2，則OC1=OC2=OA=，∴C1（，0），C2（，0）；

②以A為圓心，OA為半徑作圓A交x軸于點O，C3，則OC3=2×4=8，∴C3（8，0）；

③作OA的垂直平分線交x軸于點C4，則OC4=AC4．設C4（x，0），則 ，解得：x=2.5，∴C4（2.5，0）．

綜上所述：點C的坐標為（8，0）或（2.5，0）或（，0）或（-，0）．