Question

（2013•武漢模擬）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＞AC，⊙O為△ABC的外接圓，以點C為圓心，BC長為半徑作弧交CA的延長線于點D，交⊙O于點E，連接BE、DE．
（l）求∠DEB的度數；
（2）若直線DE交⊙0于點F，判斷點F在半圓AB上的位置，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）首先連接CE、BD，由圓周角定理可得：∠BDE=

1

2

∠ECB，∠DBE=

1

2

∠ECD，則可求得∠BDE+∠DBE=45°，繼而求得∠DEB的度數；
（2）由（1）知∠DEB=135°，即可得∠BEF=45°，則可知弧FB=

1

2

弧AB；即F為弧AB中點．

解答：解：（1）連接CE、BD，
∵∠BDE與∠ECB所對的弧都為弧EB，
∴∠BDE=

1

2

∠ECB，
同理：∠DBE=

1

2

∠ECD，
∴∠BDE+∠DBE=

1

2

∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠BDE+∠DBE=45°，
∴∠DEB=180°-（∠BDE+∠DBE）=135°；

（2）F為弧AB中點．
理由：連接BF，由（1）知∠DEB=135°，
∴∠CED=45°
∴∠ABF=45°，
∴

AF

=

1

2

AB

，
即F為弧AB中點．

點評：此題考查了圓周角定理以及弧與圓心角的關系．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．