Question

19．已知a，b，c滿足等式：3$\sqrt{a-b}$+4$\sqrt{c}$=16（a≥b，c≥0），且x=4$\sqrt{a-b}$-3$\sqrt{c}$，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 設$\sqrt{a-b}$=m，$\sqrt{c}$=n，則3$\sqrt{a-b}$+4$\sqrt{c}$=16，則3m+4n=16，x=4$\sqrt{a-b}$-3$\sqrt{c}$即4m-3n=x，據此即可得到一個關于m和n的方程組，然后根據m和n是非負數求得x的范圍．

解答 解：設$\sqrt{a-b}$=m，$\sqrt{c}$=n，
則3$\sqrt{a-b}$+4$\sqrt{c}$=16，則3m+4n=16，
x=4$\sqrt{a-b}$-3$\sqrt{c}$即4m-3n=x，
根據題意得$\left\{\begin{array}{l}{3m+4n=16}\\{4m-3n=x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4x-48}{7}}\\{n=\frac{64-3x}{25}}\end{array}\right.$，
根據題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4x-48}{7}≥0}\\{\frac{64-3x}{25}≥0}\end{array}\right.$，
解得：12≤x≤$\frac{64}{3}$．

點評 本題考查了二次根式的化簡，以及方程組和不等式組的解法，正確轉化為關于m和n的方程組是關鍵．