Question

在平面直角坐標系xOy中，二次函數的圖象與x軸負半軸交于點A，與y軸交于點B（0，4），已知點E（0，1）．

（1）求m的值及點A的坐標；

（2）如圖，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連結A′B、BE′．

①當點E′落在該二次函數的圖象上時，求AA′的長；

②設AA′=n，其中0＜n＜2，試用含n的式子表示A′B²+BE′²，并求出使A′B²+BE′²取得最小值時點E′的坐標；

③當A′B+BE′取得最小值時，求點E′的坐標．

 

Answer 1

解：（1）由題意可知 ，．

∴ 二次函數的解析式為．

         ∴ 點A的坐標為（- 2, 0）

（2）①∵ 點E（0,1），由題意可知，

．

解得 ．

∴ AA′=．          

②如圖，連接EE′．

由題設知AA′=n（0＜n＜2），則A′O = 2 - n．

在Rt△A′BO中，由A′B² = A′O² + BO²，

得A′B² =(2–n)² + 4² = n² - 4n + 20．

∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的，

∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．

∴∠BEE′=90°，EE′=n．

又BE=OB - OE=3.

∴在Rt△BE′E中，BE′² = E′E² + BE² = n² + 9，

∴A′B² + BE′² = 2n² - 4n + 29 = 2(n–1)² + 27．

當n = 1時，A′B² + BE′²可以取得最小值，此時點E′的坐標是（1，1）．

                                   

③如圖，過點A作AB′⊥x軸，并使AB′ = BE = 3．

易證△AB′A′≌△EBE′，

∴B′A′ = BE′，

∴A′B + BE′ = A′B + B′A′．

當點B，A′，B′在同一條直線上時，A′B + B′A′最小，即此時A′B+BE′取得最小值．

易證△AB′A′∽△OBA′，

∴，

∴AA′=，

∴EE′=AA′=，

∴點E′的坐標是（，1）．