Question

【題目】如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC、BC為邊，在Rt△ABC外作兩個等邊三角形△ACE和△BCF，連接BE、AF分別交AC、BC邊于H、D兩點．下列結論：①AF＝BE；②∠AFC＝∠EBC；③∠FAE＝90°；④BD＝FD，其中正確結論的個數是（　　）

A.4個B.3個C.2個D.1個

Answer 1

【答案】C

【解析】

由等邊三角形的性質得出BC=CF，CE=AC，∠BCF=∠ACE=∠CFB=∠CBF=∠CAE=60°，∠ACB=90°，易證∠BCE=∠FCA=150°，由SAS證得△BCE≌△FCA，得出AF=BE，∠AFC=∠EBC，由∠FCA=150°，得出∠FAC＜30°，則∠FAE=∠FAC+∠CAE＜90°，由∠BFD＜∠BFC，得出∠BFD＜∠CBF，則DF＞BD，即可得出結果．

∵△ACE和△BCF是等邊三角形，

∴BC=CF，CE=AC，∠BCF=∠ACE=∠CFB=∠CBF=∠CAE=60°，∠ACB=90°，

∴∠BCE=90°+60°=150°，∠FCA=60°+90°=150°，

∴∠BCE=∠FCA．

在△BCE和△FCA中，∵，

∴△BCE≌△FCA（SAS），

∴AF=BE，∠AFC=∠EBC，故①、②正確；

∵∠FCA=60°+90°=150°，∴∠FAC＜30°．

∵∠CAE=60°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE＜90°，故③錯誤；

∵∠BFD＜∠BFC，∴∠BFD＜∠CBF，∴DF＞BD，故④錯誤．

故選：C．