Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一點，BP＝3，Q是CD邊上一動點，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應點為A′，當CA′的長度最小時，CQ的長為_____．

Answer 1

【答案】7

【解析】

作CH⊥AB于H，如圖，根據菱形的性質可判斷△ABC為等邊三角形，則CH＝AB＝4，AH＝BH＝4，再利用勾股定理計算出CP＝7，再根據折疊的性質得點A′在以P點為圓心，PA為半徑的弧上，利用點與圓的位置關系得到當點A′在PC上時，CA′的值最小，然后證明CQ＝CP即可．

作CH⊥AB于H，如圖，

∵菱形ABCD的邊AB＝8，∠B＝60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴CH＝AB＝4，AH＝BH＝4，

∵PB＝3，

∴HP＝1，

在Rt△CHP中，CP＝＝7，

∵梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應點A′，

∴點A′在以P點為圓心，PA為半徑的弧上，

∴當點A′在PC上時，CA′的值最小，

∴∠APQ＝∠CPQ，而CD∥AB，

∴∠APQ＝∠CQP，

∴∠CQP＝∠CPQ，

∴CQ＝CP＝7．

故答案為：7．