Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A(- 4，0)和點B，交y軸于點C(0，4)．

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)如圖2，設點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，當△ADC面積有最大值時，在拋物線對稱軸上找一點M，使DM+AM的值最小，求出此時M的坐標；

(3)點Q在直線AC上的運動過程中，是否存在點Q，使△BQC為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)點M的坐標為M(，5)；(3)存在，Q(，)或(，)或(-3，1)或().

【解析】

（1）將A(- 4，0)、C(0，4)代入y=﹣x2+bx+c中即可得；

（2）直線AC的解析式為：，表達出DQ的長度，及△ADC的面積，根據二次函數的性質得出△ADC面積的最大值，從而得出D點坐標，作點D關于對稱軸對稱的點，確定點M，使DM+AM的值最小；

（3）△BQC為等腰三角形，則表達出三邊，并對三邊進行分類討論，計算得出Q點的坐標即可.

解：(1)將A(- 4，0)、C(0，4)代入y=﹣x2+bx+c中得

，解得 ，

∴，

(2)直線AC的解析式為：

設Q(m，m+4) ，則 D(m，)

DQ=()- (m+4)=

當m=-2時，面積有最大值

此時點D的坐標為D(-2，6)，D點關于對稱軸對稱的點D1(-1，6)

直線AD1的解析式為：

當時，

所以，點M的坐標為M(，5)

(3)∵，

∴設Q(t,t+4)，

由得，，

∴B(1,0)，

∴

,

△BQC為等腰三角形

①當BC=QC時，則，∴此時，

∴Q(，)或(，)；

②當BQ=QC時，則，解得，

∴Q()；

③當BQ=BC時，則，解得t=-3,

∴Q(-3，1)；

綜上所述，若△BQC為等腰三角形，則

Q(，)或(，)或(-3，1)或().