Question

【題目】如圖1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，四邊形ADEF是矩形，點B、C分別在邊AD、AF上，且BC∥DF．

（1）求證：，BD⊥CF；

（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立．理由見解析．

【解析】

（1）根據平行線分線段成比例即可得出，然后利用矩形的性質即可證明BD⊥CF；

（2）延長DB交CF于G，交AF于H，先證明△ABC∽△ADF，得出，再由旋轉的性質得出的∠CAF=∠BAD和對應邊成比例證明△ABD∽△ACF，根據相似三角形的性質有，∠AFC=∠ADB，最后通過等量代換可得到∠FGH=90°，即可證明BD⊥CF．

（1）∵BC∥DF，

∴，

∵四邊形ADEF是矩形，

∴∠A=90°，

∴AD⊥AF，

∴BD⊥CF；

（2）（1）中的結論還成立．理由如下：

延長DB交CF于G，交AF于H，如圖2所示：

由（1）得：BC∥DF，

∴∠ABC=∠ADF，∠ACB=∠AFD，

∴△ABC∽△ADF，

∴，

由旋轉的性質得∠CAF=∠BAD，

∴△ABD∽△ACF，

∴，∠AFC=∠ADB．

∵∠GHF=∠AHD，∠ADB+∠AHD=90°，

∴∠AFC+∠GHF=90°，

∴∠FGH=90°，

∴BD⊥CF．