Question

已知：關于x的方程x²+（8-4m）x+4m²=0．
（1）若方程有兩個相等的實數根，求m的值，并求出這時方程的根．
（2）問：是否存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于136？若存在，請求出滿足條件的m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）若方程有兩個相等的實數根，
則有△=b²-4ac=（8-4m）²-16m²=64-64m=0，
解得m=1，
當m=1時，原方程為x²+4x+4=0，
∴x₁=x₂=-2；
（2）不存在．
假設存在，則有x₁²+x₂²=136．
∵x₁+x₂=4m-8，
x₁x₂=4m²，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=136．
即（4m-8）²-2×4m²=136，
∴m²-8m-9=0，
（m-9）（m+1）=0，
∴m₁=9，m₂=-1．
∵△=（8-4m）²-16m²=64-64m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m₁=9，m₂=-1都不符合題意，
∴不存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于136．