Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，A（0，a），B（b，0）且a、b滿足|a+2b﹣6|+|a﹣2b+2|＝0．E為線段AB上一動點，∠BED＝∠OAB，BD⊥EC，垂足在EC的延長線上，試求：

（1）判斷△OAB的形狀，并說明理由；

（2）如圖1，當點E與點A重合時，探究線段AC與BD的數量關系，并證明你的結論；

（3）如圖2，當點E在線段AB（不與A、B重合）上運動時，試探究線段EC與BD的數量關系，證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）△OAB是等腰直角三角形；（2）AC＝2BD，理由見解析；（3）EC＝2BD，證明見解析

【解析】

（1）根據非負性得出a，b的值進而解答即可．

（2）延長BD與y軸交于點F，證明△ABD≌△AFD，可得BD＝DF，再證明△AOC≌△BOF，可得AC＝BF，即可得出結論；

（3）過點E作EN⊥x軸于點K，交BD的延長線于點N，證明△EBD≌△END，可得BD＝DN，再證明△EKC≌△BKN，可得EC＝BN，則結論得證．

解：（1）∵|a+2b﹣6|+|a﹣2b+2|＝0，|a+2b﹣6|≥0，|a﹣2b+2|≥0

∴，

解得，

∴OA＝OB，

又∵∠AOB＝90°，

∴△OAB是等腰直角三角形．

（2）AC＝2BD，理由如下：如圖1，延長BD與y軸交于點F，

∵，

∴∠BAD＝∠FAD

又∵BD⊥EC，∠ADB＝∠ADF，

在△ADB和△ADF中，

，

∴△ABD≌△AFD（ASA），

∴BD＝DF，

∵

∴

在△AOC和△BOF中

∴△AOC≌△BOF（ASA），

∴AC＝BF，

∴AC＝2BD；

（3）EC＝2BD，證明如下：

如圖2，過點E作EN⊥x軸于點K，交BD的延長線于點N，

∴EN∥y，

∴∠NEB＝∠OAB，

∵∠BED＝∠OAB，

∴∠NED＝∠BED，

在△EBD和△END中，

，

∴△EBD≌△END（ASA），

∴BD＝DN，

∴

在△EKC和△BKN中，

∴△EKC≌△BKN（ASA），

∴EC＝BN，

∴EC＝2BD．