Question

【題目】如圖，Rt△ABC的兩直角邊AC邊長為4，BC邊長為3，它的內切圓為⊙O，⊙O與邊AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，延長CO交斜邊AB于點G.

(1)求⊙O的半徑長；

(2)求線段DG的長．

Answer 1

【答案】(1) 1；(2)

【解析】

（1）由勾股定理求AB，設⊙O的半徑為r，則r=（AC+BC-AB）求解；

（2）過G作GP⊥AC，垂足為P，根據CG平分直角∠ACB可知△PCG為等腰直角三角形，設PG=PC=x，則CG=x，由（1）可知CO=r=，由Rt△AGP∽Rt△ABC，利用相似比求x，由OG=CG-CO求OG，在Rt△ODG中，由勾股定理求DG．

試題解析：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得AB==5，

∴☉O的半徑r=(AC+BC-AB)=(4+3-5)=1；

(2)過G作GP⊥AC，垂足為P，設GP=x，

由∠ACB=90°，CG平分∠ACB，得∠GCP=45°，

∴GP=PC=x，

∵Rt△AGP∽Rt△ABC，

∴=，解得x=，

即GP=，CG=，

∴OG=CG-CO=-=，

在Rt△ODG中，DG==.