Question

【題目】如圖，點O是△ABC中AB邊上一點，以點O為圓心，OA的長為半徑作⊙O，⊙O恰好經過點C，且與邊BC，AB分別交于E，F兩點．連接AE，過點E作⊙O的切線，交線段BF于點M，交AC的延長線于點N，且EM=BM，EB=AO．

（1）求的度數；

（2）求證：；

（3）若，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）連接，則，由條件得，求得,即可求得；

（2）連接OC,由已知條件可證為直角三角形，所以，即，通過證明，得，，由進而可證明；

（3）過點作于點，解得，，由為等腰直角三角形可求得△NCE為等腰三角形，，，由是等邊三角形得，解得，即可求得三角形面積．

（1）連接，

∵直線與相切于點，

∴，

∴，

∴

∵，

∴，

∵在中，，，

∴，∴

∵，

∴，

∴

∴，

∴，

∴在中，；

（2）連接，

在中，

∵，

∴是等邊三角形，

∴，，

∴，

∴

∵在中，，

∴在中，，

∴，

∵由（1）可知：，，

∴，

∴，

∴

∵，

∴，

∵，

∴；

（3）過點作于點，

∵在中，，，

∴，，

∵由（2）可知，為等腰直角三角形，

∴，

∵在中，，

∴，

∴，

∴，

∵由（2）可知，是等邊三角形，

∴，

∵，

∴在中，

∴．