Question

【題目】如圖，中，，將繞點C順時針旋轉得到，點D落在線段AB上，連接BE．

（1）求證：DC平分；

（2）試判斷BE與AB的位置關系，并說明理由：

（3）若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BE⊥AB，理由見解析；（3）．

【解析】

（1）根據旋轉的性質可得AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性質得到∠A=∠ADC即可證明∠ADC=∠CDE；

（2）根據旋轉的性質得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，從而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再根據∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°；

（3）設BD=BE=a，根據勾股定理計算出AB=DE=，表達出AD，再證明△ACD∽△BCE，得到即可．

解：（1）由旋轉可知：AC=CD，∠A=∠CDE，

∴∠A=∠ADC，

∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE；

（2）BE⊥AB，

理由：由旋轉可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，

∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，

又∵∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ABC=90°，

∴∠CBE+∠ABC=90°，

即∠ABE=90°，

∴BE⊥AB；

（3）∵∠ABE=90°，BD=BE，

∴設BD=BE=a，則，

又∵AB=DE，

∴AB=，則AD=，

由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，

∴△ACD∽△BCE，

∴，

∴tan∠ABC=．