Question

如圖，△ABC中，下面說法正確的個數是個．
①若O是△ABC的外心，∠A=50°，則∠BOC=100°；
②若O是△ABC的內心，∠A=50°，則∠BOC=115°；
③若BC=6，AB+AC=10，則△ABC的面積的最大值是12；
④△ABC的面積是12，周長是16，則其內切圓的半徑是1．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：①根據圓周角定理直接求出∠BOC的度數即可；
②利用內心的定義得出∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）進而求出即可；
③研究三角形面積最大值的問題，由于已知三邊的和，故可以借助海倫公式建立面積關于邊的函數，再利用基本不等式求最值；
④根據內心到三角形三邊距離相等得出內切圓半徑乘以周長等于面積，即可得出答案．
解答：①若O是△ABC的外心，∠A=50°，則∠BOC=100°，根據圓周角定理直接得出即可，故此選項正確；
②若O是△ABC的內心，∠A=50°，則∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=115°，故此選項正確；
③若BC=6，AB+AC=10，則△ABC的面積的最大值是12；
由題意，三角形的周長是16，由令AB=x，則AC=10-x，
由海倫公式可得三角形的面積
S==4≤4×=12，
等號僅當8-x=x-2即x=5時成立，
故三角形的面積的最大值是12，故此選項正確；
④△ABC的面積是12，周長是16，設內切圓半徑為x，則x×16=12，
解得：r=1.5，
則其內切圓的半徑是1，此選項錯誤．
故正確的有①②③共3個．
故選：C．
點評：此題主要考查了內心的性質以及圓周角定理和由海倫公式可得三角形的面積，此題涉及知識較多，并且涉及到課外知識難度較大．