Question

（2013•莒南縣一模）如圖，△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點A作AE∥BC，過點D作DE∥AB，DE與AC、AE分別交于點O、點E，連接EC
（1）求證：AD=EC；
（2）當∠BAC=Rt∠時，求證：四邊形ADCE是菱形；
（3）在（2）的條件下，若AB=AO，求tan∠OAD的值．

Answer 1

分析：（1）先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證四邊形ADCE是平行四邊形，即得AD=CE；
（2）由∠BAC=90°，AD上斜邊BC上的中線，即得AD=BD=CD，證得四邊形ADCE是平行四邊形，即證；
（3）利用（2）的結論和三角形中位線的性質即可求出tan∠OAD的值．

解答：解：（1）證明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE∥BD且AE=BD，
又∵AD是邊BC上的中線，
∴BD=CD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形
∴AD=EC；

（2）∵∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的中線，
∴AD=BD=CD
又∵四邊形ADCE是平行四邊形
∴四邊形ADCE是菱形；

（3）∵四邊形ADCE是菱形，
∴AO=CO，∠AOD=90°
又∵BD=CD，
∴OD是△ABC的中位線，則OD=

1

2

AB，
∵AB=AO，
∴OD=

1

2

AO，
∴在Rt△AOD中，tan∠OAD=

OD

OA

=

1

2

．

點評：本題考查了平行四邊形和菱形的判定和性質，（1）證得四邊形ABDE，四邊形ADCE為平行四邊形即得；（2）由∠BAC=90°，AD上斜邊BC上的中線，即得AD=BD=CD，證得四邊形ADCE是平行四邊形，從而證得四邊形ADCE是菱形．