Question

如圖所示，已知AD為等腰三角形ABC的底角的平分線，∠C=90°，求證：AB=AC+CD。

Answer 1

解：證一（截長法）：如圖所示，過點D作DE⊥AB于E

∵AD是∠BAC的平分線，∠DCA=90°
∴DE=DC
又∵AD=AD
∴△ADE≌△ACD（HL）
∴AE=AC，CD=DE
∵∠DCA=90°，AC=BC
∴∠B=45°
在△DEB中，∵∠B=45°，∠DEB=90°
∴△EBD是等腰直角三角形
∴DE=EB
∴CD=EB
∴AC+CD=AE+EB，即AC+CD=AB；
證法二（補短法）：如圖所示，在AC的延長線上截取CM=CD，連結DM

在△MCD中，∠MCD=90°，CD=CM
∴△MCD是等腰直角三角形
∴∠M=45°
又∵在等腰直角三角形中，∠B=45°
∴∠M=∠B=45°　
又∵AD平分∠CAB
∴∠BAD=∠MAD
∵AD=AD
∴△MAD≌△BAD（AAS）
∴MA=AB，即AC+CD=AB。