Question

（本題滿分12分）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是BC邊上的點，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點P，交邊CD于點F，

（1）求的值為          .
（2）求證：AE=EP；
（3）在AB邊上是否存在點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）=；（2）詳見解析；（3）存在，理由詳見解析

解析試題分析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D，∵∠AEP=90°， ∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE==，由△ABE∽△ECF 得 =，
（2）在BA邊上截取BK=NE，連接KE，
∵∠B=90°，BK=BE， ∴∠BKE=45°， ∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE， ∴AB﹣BK=BC﹣BE，
即：AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，
，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；
（3）答：存在．
證明：作DM⊥AE于AB交于點M，
則有：DM∥EP，連接ME、DP，
∵在△ADM與△BAE中，
，
∴△ADM≌△BAE（AAS），
∴MD=AE，
∵AE=EP，
∴MD=EP，
∴MDEP，
∴四邊形DMEP為平行四邊形

考點: 正方形的綜合運用