Question

23、觀察下列圖形：

圖1陰影部分是半徑為2與半徑為1的圓所圍成的圓環；圖2的陰影部分是在圖1的基礎之上添加的半徑為4與半徑為3的圓所圍成的的兩個圓環；以此類推，圖3陰影部分分別是半徑為：1、2、3、4…、…、2009、2010的偶數半徑與比其小1的半徑所圍成的的所有圓環．
（1）圖1陰影部分是

3π

．
（2）圖2陰影部分是

10π

．
（3）求圖3所有陰影部分的面積（結果都保留π）．

Answer 1

分析：（1）直接利用圓的面積解答即可；
（2）首先利用圓的面積，再進一步因式分解，初步找出規律解答即可；
（3）利用（1）（2）的計算方法，找出規律解答即可．

解答：解：（1）由圓的面積可得π×（2²-1²）=3π；

（2）π（2²-1²）+π（4²-3²），
=π（2+1）（2-1）+π（4+3）（4-3），
=π+2π+3π+4π，
=10π；
（3）π（2²-1²）+π（4²-3²）+…+π（2010²-2009²），
=π+2π+3π+…+2009π+2010π，
=（2010+2009+2008+2007+…+4+3+2+1）π，
=2021055π．
答：圖3所有陰影部分的面積為2021055π．

點評：此題主要考查圓的面積公式，平方差公式，連續自然數相加的計算方法．