Question

觀察下列圖形，回答問題：
問題（1）：若圖①中的△DEF為直角三角形，正方形P的面積為9，正方形Q的面積為15，則正方形M的面積為

24

．
問題（2）：如圖②，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個半圓，這三個半圓的面積之間的關系是

S₁+S₂=S₃

（用圖中字母表示）
問題（3）：如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長分別為3和4，以直角三角形的三邊為直徑作半圓，請你利用上面中的結論求出陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的面積公式結合勾股定理就可發現大正方形的面積是兩個小正方形的面積和；
（2）分別表示出S₁、S₂、S₃，結合勾股定理即可得出關系式．
（3）根據半圓的面積公式以及勾股定理就可發現：兩個小半圓的面積和等于大半圓的面積，從而得出陰影部分的面積=直角三角形的面積．

解答：解：（1）由題意得，P=DE²=9，Q=EF²=15，
故可得M=DF²=DE²+EF²=24．
（2）S₁=

π

8

AC²，S₂=

π

8

BC²，S₃=

π

8

AB²，
∵AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃．
（3）設直角三角形的邊從小到大分別是a，b，c，則a²+b²=c²，兩邊同除以

π

8

，
即得：兩小半圓的面積和等于大半圓的面積，
從而可得S_{陰影部分的面積}=S_{直角三角形的面積}=

1

2

×3×4=6．

點評：本題考查了勾股定理及圓的面積公式，解答此類題目關鍵是仔細觀察所給圖形的特點，不要盲目作答．