Question

觀察下列圖形：

圖1陰影部分是半徑為2與半徑為1的圓所圍成的圓環；
圖2的陰影部分是在圖1的基礎之上添加的半徑為4與半徑為3的圓所圍成的兩個圓環；以此類推，
圖3陰影部分分別是半徑為：1、2、3、4…、…、2009、2010的偶數半徑與比其小1的半徑所圍成的所有圓環．
（1）圖1陰影部分是____；
（2）圖2陰影部分是____；
（3）求圖3所有陰影部分的面積（結果都保留π）。

Answer 1

解：（1）由圓的面積可得π×（2²﹣1²）=3π；
（2）π（2²﹣1²）+π（4²﹣3²）
=π（2+1）（2﹣1）+π（4+3）（4﹣3）
=π+2π+3π+4π
=10π；
（3）π（2²﹣1²）+π（4²﹣3²）+…+π（2010²﹣2009²）
=π+2π+3π+…+2009π+2010π
=（2010+2009+2008+2007+…+4+3+2+1）π
=2021055π．