Question

【題目】如圖，己知，A(0, 4),B (t,0)分別在y軸,x軸上，連接AB,以AB為直角邊分別作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ABC.直線BC交y軸于點E. 點G(-2,3)、H(-2,1)在第二象限內.

(1)當t =-3時，求點D的坐標.

(2)若點G、H位于直線AB的異側，確定t的取值范圍.

(3)①當t取何值時，△ABE與△ACE的面積相等.

②在①的條件下，在x軸上是否存在點P,使△PCB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）D（-7，3）；（2）；（3）①－2；②存在，P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0)

【解析】

（1）當t=-3時，過點D作DM⊥x軸于點M，證明△ABO≌△BDM，得出DM=BO和MB=OA，從而得出點D坐標.

（2）設出AB解析式y=kx+4，分別求出點G，H在線段AB上的時點B的坐標；

（3）①假設△ABE與△ACE的面積相等，利用等底同高求出t值；

②根據等腰三角形的性質,分BP=BC、CP=CB、PC=PB三種情況討論.

(1)當t=-3時，過點D作DM⊥x軸于點M,

∵△ABD為等腰直角三角形，AB=BD，∠ABD=90°

∴∠ABO+∠DBM=180°-90°=90°

又∵DM⊥x軸于點M

∴∠DMB=90°

∴∠DBM+∠MDB=90°

∴∠MDB=∠ABO

在△ABO和△BDM中

∴△ABO≌△BDM

∴DM=BO=3，MB=OA=4

∴MO=MB+BO=4+3=7

∴D（-7，3）

(2)∵A（0，4），B（t,0),設直線AB的解析式為y=kx+4

當點G（-2，3）在直線AB上時

3=-2k+4，

此時AB的解析式

當y=0時，，x=-8

此時B（-8，0)

當點H（-2，1）在直線AB上時

1=-2k+4，

此時AB的解析式

當y=0時，，x=

此時B（，0)

∵點G, H位于直線AB的異側，

∴由圖像可知直線AB與線段MN相交，且點M，N不在直線AB上

∴

(3)①t=-2時，△ABE與△ACE的面積相等.

如圖，過點B做x軸垂線，構造直角三角形ARB和直角三角形BQC，

∵∠RAB+∠ABR=90°，∠ABR+∠BCQ=90°

∴∠ABR=∠BCQ，

在△ARB和△BQC中，

，

∴△ARB≌△BQC（AAS）

∴AR=BQ,BR=QC=4，

若△ABE與△ACE的面積相等，

則BE=EC，

∴BO=CN=2,

∴B（-2,0）

②P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0)

由②可得C（2，-2）

當BP=BC時，

BC==，

∴BP=

∴P(-2-2，0)或P(2-2，0)

當CP=CB時，

BP=8，

∴P(6，0)

當PC=PB時，

如圖，過E作BC的垂線，交x軸于點P，過C作x軸垂線于點S，

設BP=m=PC，則PS=4-m，

在△PSC中，PS2+SC2=PC2,

即22+（4- m）2= m 2，

解得m=，

∴OP=-2=，

∴P(，0).

綜上：P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0).