Question

4．如圖1，拋物線y=mx²-11mx+24m（m＜0）與x軸交于B，C兩點（點B在點C的左側）．
（1）若點A在拋物線上，且OA=AC，∠BAC=90°，求此時拋物線的解析式；
（2）如圖2，在（1）的條件下，點M始終位于拋物線上A，C兩點之間，過點M作直線l：x=n，交直線AC于點N，連接AM，MC，試探究當n為何值時，△AMC的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數與x軸交點坐標求法可得出點B、C的坐標；如圖，過點A作AE⊥x軸于點E．構建相似三角形：△ACE∽△BAE，由相似三角形的對應邊成比例即可得出A點坐標，根據待定系數法來求二次函數解析式；
（2）首先求出過A、C兩點的坐標的直線AC的解析式，進而利用二次函數圖象上點的坐標特征求得點M的坐標，然后利用三角形的面積公式和二次函數最值的求法進行解答．

解答 解：（1）∵y=mx²-11mx+24m=m（x-3）（x-8），
∴B（3，0），C（8，0）．
∴OC=8．
如圖，過點A作AE⊥x軸于點E．
∵OA=AC，
∴OE=CE=$\frac{1}{2}$OC=4．
∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，
∴△ACE∽△BAE，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CE}{AE}$，
∴AE²=BE•CE=1×4，
∴AE=2，
∴點A的坐標為（4，2）．
把點A的坐標（4，2）代入拋物線y=mx²-11mx+24m，得m=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{11}{2}$x-12；       

（2）由A（4，2）、C（8，0）易得直線AC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+4．
則點N的坐標是（n，-$\frac{1}{2}$n+4）．
∵直線x=n與拋物線交于點M，
∴點M的坐標為（n，-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n-12），
∴MN=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n-12-（-$\frac{1}{2}$n+4）=-$\frac{1}{2}$n²+6n-16．
∴S_△AMC=S_△AMN+S_△CMN=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$n²+6n16）×4=-（n-6）²+4≥4．
∴當n=6時，△AMC的面積最大值為4．

點評 此題主要考查了二次函數綜合題，需要掌握二次函數的三種形式，二次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求一次函數、二次函數的解析式以及相似三角形的判定與性質，根據已知得出作出輔助線，推知△ACE∽△BAE是解決問題的關鍵．