Question

如圖，△ABC是等邊三角形，D為AC邊上的一個動點，延長AB到E，使BE=CD，連接DE交BC于F．
（1）求證：DF=EF；
（2）若△ABC的邊長為5，設CD=x，BF=y，求y與x間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：過D作DM∥AB交BC于M，如圖，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△CDM為等邊三角形，
∴CD=DM，
又∵BE=CD，
∴DM=BE，
而DM∥BE，
∴∠FDM=∠E，∠DMF=∠FBE，
∴△FDM≌△FEB，
∴DF=EF；

（2）解：由（1）得△FDM≌△FEB，
∴MF=BF=y，
而CM=CD=x，
∴x+y+y=5，
∴y=x-（0＜x＜5）．
分析：（1）過D作DM∥AB交BC于M，則△CDM為等邊三角形，得CD=DM，而BE=CD，得到DM=BE，易證得△FDM≌△FEB，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）由（1）得△FDM≌△FEB，得到MF=BF=y，易得CM=CD=x，而BC=5，即有x+y+y=5，即可得到y與x間的函數關系式．
點評：本題考查了三角形全等的判定與性質．也考查了等邊三角形的性質．