Question

如圖，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°．四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中錯誤的有（ ）
①△ACE以點A為旋轉中心，逆時針方向旋轉90°后與△ADB重合，
②△ACB以點A為旋轉中心，順時針方向旋轉270°后與△DAC重合，
③沿AE所在直線折疊后，△ACE與△ADE重合，
④沿AD所在直線折疊后，△ADB與△ADE重合，
⑤△ACE的面積等于△ABE的面積．

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：由△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，易證得△ACE≌△ADB，即可得①正確；又由四邊形ABCD是平行四邊形，易證得△EAC≌△EAD，即可得△ACE≌△ADB≌△ADE，即可判定③④正確；由平行四邊形的中心對稱性，可得②錯誤，又由S_△ACE=S_△ADB=AD×BH=AD•AC=AC²，S_△ABE=AE•AB=AB²，AB＞AC，即可判定②錯誤．繼而求得答案．
解答：解：①∵△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，
∴AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD，
在△ACE和△ADB中，
∵，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴△ACE以點A為旋轉中心，逆時針方向旋轉90°（旋轉角為∠EAB=90°）后與△ADB重合；
故①正確；
②∵平行四邊形是中心對稱圖形，
∴要想使△ACB和△DAC重合，△ACB應該以對角線的交點為旋轉中心，順時針旋轉180°，即可與△DAC重合，
故②錯誤；
③∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=45°，
∴∠EAC=∠BAC+∠CAD=135°，
∴∠EAD=360°-∠EAC-∠CAD=135°，
∴∠EAC=∠EAD，
在△EAC和△EAD中，
∵，
∴△EAC≌△EAD（SAS），
∴沿AE所在直線折疊后，△ACE與△ADE重合；
故③正確；
④∵由①③，可得△ADB≌△ADE，
∴沿AD所在直線折疊后，△ADB與△ADE重合，
故④正確；
⑤過B作BH⊥AD，交DA的延長線于H，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BH=AC，
∵△ACE≌△ADB，
∴S_△ACE=S_△ADB=AD×BH=AD•AC=AC²，
∵S_△ABE=AE•AB=AB²，AB＞AC，
∴S_△ABE＞S_△ACE；
故⑤錯誤．
故選B．
點評：此題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、折疊的性質以及旋轉的性質．此題綜合性較強，難度較大，注意數形結合思想的應用，注意證得△ACE≌△ADB≌△ADE是解此題的關鍵．