Question

23、如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于點F，BD分別交CE、AE于點G、H．試猜測線段AE和BD的數量和位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：由于條件可知AD=AC，BC=ED，且可求得∠ACE=∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即AE=BD，∠CAE=∠CDB；又因為對頂角相∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE⊥BD．

解答：解：猜測AE=BD，AE⊥BD；（2分）
理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，（3分）
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=CD，CE=CB，（4分）
∴△ACE≌△DCB（SAS），（5分）
∴AE=BD，（6分）∠CAE=∠CDB；（7分）
∵∠AFC=∠DFH，又∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DHF=∠ACD=90°，（8分）
∴AE⊥BD．（9分）
故線段AE和BD的數量相等，位置是垂直關系．

點評：此題主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性質及對頂角的性質等知識點．