Question

（2012•西青區一模）已知∠AOB=45°，其內部一點P，OP=10，在∠AOB的邊OA、OB上分別有點Q、R（P、Q、R三點不在同一直線上，Q、R不同于點O），則△PQR周長的最小值為

10

2

．

Answer 1

分析：設點P關于OA的對稱點是E，關于OB的對稱點是F，當點R、Q在EF上時，△PQR的周長=PQ+QR+PR=EF，此時周長最小．

解答：解：如圖，作出點P關于OA的對稱點E，作出點P關于OB的對稱點F，連接EF，交OA于Q，交OB于R．連接PQ，PR，PE，PF，OE，OF．
則PQ=EQ，PR=RF，
則△PQR的周長=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF．
∵∠AOP=∠AOE，∠POB=∠FOB，∠AOB=∠AOP+∠POB=45°，
∴∠EOF=90°，
又∵OE=OP，OF=OP，
∴OE=OF=10，即△EOF是等腰直角三角形，
∴EF=

2

OP=10

2

．
∴△PQR的周長的最小值為10

2

．
故答案為：10

2

．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題及等腰直角三角形的判定和性質，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．