Question

已知：a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd，且a，b，c，d都是正數，求證：a=b=c=d．

Answer 1

證明：由已知可得：a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd=0，
（a²-b²）²+（c²-d²）²+2a²b²+2c²d²-4abcd=0，
所以（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0．
因為（a²-b²）²≥0，（c2-d2）2≥0，（ab-cd）2≥0，
所以a²-b²=c²-d²=ab-cd=0，
所以（a+b）（a-b）=（c+d）（c-d）=0．
又因為a，b，c，d都為正數，
所以a+b≠0，c+d≠0，
所以a=b，c=d．
所以ab-cd=a²-c²=（a+c）（a-c）=0，
所以a=c，
故a=b=c=d成立．