Question

【題目】如圖，已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上，之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸、軸的平行線與直線交于點(diǎn)，.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)；

（3）如圖，以，為邊構(gòu)造矩形，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

①請(qǐng)求出，之間的關(guān)系式；②求出矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x；（2）；（3）①；②P（0，0）

【解析】

（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程可求得a的值，再代入拋物線可求得b的值，可求得拋物線解析式；
（2）聯(lián)立拋物線和直線解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，過A作AQ⊥x軸，交x軸于點(diǎn)Q，可知OC=AQ=4，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合條件可知P點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得PC的長(zhǎng)；
（3）①根據(jù)矩形的性質(zhì)可分別用m、n表示出C、P的坐標(biāo)，根據(jù)DE=CP，可得到m、n的關(guān)系式．

②根據(jù)①中可得DE和CD，以及、之間的關(guān)系式可用n表示m，代入

解：（1）∵A（a，8）是拋物線和直線的交點(diǎn)，
∴A點(diǎn)在直線上，
∴8=2a+4，解得a=2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8），
又A點(diǎn)在拋物線上，
∴8=22+2b，解得b=2，
∴拋物線解析式為y=x2+2x；

（2）聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，

解得，，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
如圖，過A作AQ⊥x軸，交x軸于點(diǎn)Q，

則AQ=8，OQ=OB=2，即O為BQ的中點(diǎn)，

當(dāng)C為AB中點(diǎn)時(shí)，則OC為△ABQ的中位線，即C點(diǎn)在y軸上，

∴OC=AQ=4，

點(diǎn)坐標(biāo)為，

又軸，

點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，

點(diǎn)在拋物線上，

，解得或，

點(diǎn)在、之間的拋物線上，

不合題意，舍去，

點(diǎn)坐標(biāo)為，，

；

（3）①，且四邊形為矩形，

點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

、都在直線上，

，，，

軸，

點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

點(diǎn)在拋物線上，

，整理可得，

解得或（舍去），

點(diǎn)坐標(biāo)為，，

，，

四邊形為矩形，

，即，

整理可得，

即、之間的關(guān)系式為；

②根據(jù)①中結(jié)論可知，，，

矩形PCDE的周長(zhǎng)=

=，

∵，

∴，代入，

∴矩形PCDE的周長(zhǎng)=，

當(dāng)n=4，最大值為12，

可得m=-2，

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0）.