Question

如圖，⊙O′經過⊙O的圓心，E、F是兩圓的交點，直線OO′交⊙O′于點P，交EF于點C，交⊙O于點Q，且EF=2

15

，sin∠P=

1

4

．
（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）求⊙O和⊙O′的半徑的長；
（3）若點A在劣弧

QF

上運動（與點Q、F不重合），連接PA交劣弧

DF

于點B，連接BC并延長交⊙O于點G，設CG=x，PA=y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要想證PE是⊙O的切線，只要連接OE，求證∠OEP=90°即可．
（2）利用相交弦的性質與三角函數和勾股定理來確定圓的半徑．
（3）利用切線長定理、相交弦定理、相似比來確定y與x的函數關系．

解答：（1）證明：連接OE，
∵OP是⊙O'的直徑，
∴∠OEP=90°．
∴PE是⊙O的切線．

（2）解：設⊙O、⊙O'的半徑分別為r，r'
∵⊙O與⊙O'交于E、F，
∴EF⊥OO'，EC=

1

2

EF=

15

．
∴在Rt△EOC、Rt△POE中，∠OEC=∠OPE．
∴sin∠OEC=sin∠OPE=

1

4

．
∴sin∠OEC=

OC

OE

=

OC

r

=

1

4

．
即OC=

1

4

r，
∴r2-

1

16

r2=15，解得r=4．
Rt△OPE中，sin∠OPE=

OE

OP

=

r

2r′

∴r'=8．

（3）解：連接OF，
∵∠OEP=90°，CE⊥OP，
∴PE²=PC•PO．
又∵PE是⊙O的切線，
∴PE²=PB•PA．
∴PC•PO=PB•PA．
即

PC

PA

=

PB

PO

，
又∵∠CPB=∠APO，
∴△CPB∽△APO．
∴

BC

OA

=

PC

PA

．
∴BC=

60

PA

．
由相交弦定理，得BC•CG=CF•CE．
∴BC=

15

CG

．
∴PA=4CG．
即y=4x（

15

＜x＜5）．

點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．