Question

已知拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的頂點P的坐標是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)，與y軸的交點是M（0，c）．我們稱以M為頂點，對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PM為L的伴隨直線．
（1）求拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式；
（2）請直接寫出拋物線y=2x²-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：
伴隨拋物線的解析式

 

，
伴隨直線的解析式

 

；
（3）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x²-3和y=-x-3，則這條拋物線的解析式是

 

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)拋物線的解析式求出其頂點P和拋物線與y軸的交點M的坐標．然后根據(jù)M的坐標用頂點式二次函數(shù)通式設伴隨拋物線的解析式然后將P點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出伴隨拋物線的解析式．根據(jù)M，P兩點的坐標即可求出直線PM的解析式；
（2）由題意可知：伴隨拋物線的頂點坐標是拋物線與y軸交點坐標，伴隨拋物線與伴隨直線的交點（與y軸交點除外）是拋物線的頂點，據(jù)此可求出拋物線的解析式；
本題要考慮的a、b、c滿足的條件有：
拋物線和伴隨拋物線都與x軸有兩個交點，因此△＞0，①
由于拋物線L中，x₂＞x₁＞0，因此拋物線的對稱軸x＞0，兩根的積大于0．②
根據(jù)兩拋物線的解析式分別求出AB、CD的長，根據(jù)AB=CD可得出另一個需滿足的條件…③綜合這三種情況即可得出所求的a、b、c需滿足的條件；
（3）方法同（1）．

解答：解：（1）y=-ax²+c，y=

b

2

x+c；
（2）∵伴隨拋物線的頂點是（0，c），
∵設它的解析式為y=m（x-0）²+c（m≠0），
∵此拋物線過P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴

4ac-b2

4a

=m•（-

b

2a

）²+c，
解得m=-a，
∴伴隨拋物線解析式為y=-ax²+c=-2x²+1；
設伴隨直線解析式為y=kx+c（k≠0），
P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）在此直線上，
∴

4ac-b2

4a

=-

b

2a

k+c，
∴k=

b

2

，
∴伴隨直線解析式為y=

b

2

x+c=-2x+1；
（3）y=x²-2x-3．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系以及一元二次方程根與系數(shù)的關系．