Question

【題目】如圖，點是反比例函數圖像上的任意一點，過點作∥軸，交另一個反比例函數的圖像于點.

（1）若，則______ ；

（2）當時， 若點的橫坐標是1，求的度數；

（3）如圖，若不論點在何處，反比例函數圖像上總存在一點，使得四邊形為平行四邊形，求的值.

Answer 1

【答案】（1）k=-4;（2）∠AOB=90°;（3）k=-4.

【解析】（1）AB交y軸于H，根據反比例函數的比例系數的幾何意義得S△AOH=×2=1，S△BOH=|k|，由于S△AOB=3，則1+|k|=3，解得k=4或-4，由于k＜0，所以k=-4；
（2）①先確定A點坐標為（1，2），B點坐標為（-4，2），根據勾股定理計算出OA=，由于=，∠HAO=∠OAB，根據相似三角形的判定得到△HAO∽△OAB，所以∠AOB=∠OHA=90°，

（3）作AE⊥x軸于點E，作DF⊥AB于點F，連接BD，證△DBF≌△AOE，得出D點的坐標即可得出的值.

解：（1）連結OD交AB于P，如圖1，

設A點坐標為（t， ），則B點坐標為（， ），
根據平行四邊形的性質得PA=PB，PD=PO，根據線段中點坐標公式得到P點坐標為（， ），則D點坐標為（， ），然后把D（， ）代入y=得=k，于是可解得k=-4．

（2）由題意，得：A（1，2）B（-4，2）

設AB交y軸于點E，則AE=1，OE=2，EB=4，∴AB=5.

∵OA2 =AE2+OE2=12+22=5，OB2=OE2+BE2=22+42=20，

∴OA2+OB2=5+20=25=AB2．

∴△AOB為直角三角形，且∠AOB=90°．

（3）存在點D在點B上方。設A（a,b),B(m,b)，

作AE⊥x軸于點E，作DF⊥AB于點F，連接BD． 則：AE=b，OE=a，

∵四邊形AOBD是平行四邊形，

∴BD=AO，BD//AO，

∴△DBF≌△AOE，

∴BF=OE=a，DF=AE=b ，

∴D（m+a，b+b)，即：D（m+a，2b) ．

∵2b（m+a)=k，即：2bm+2ba=k且ba=2，bm=k，

∴2k+4=k ，即：k=-4 ．

“點睛”本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、反比例函數的比例系數的幾何意義和平行四邊形的性質；會利用相似比進行計算．