Question

已知：兩個等腰直角三角形（△ACB和△BED）邊長分別為a和b（a＜b）如圖放置在一起，連接AD，
（1）求陰影部分（△ABD）的面積；
（2）如果有一個P點正好位于線段CE的中點，連接AP、DP得到△APD，求△APD的面積；
（3）（2）中的三角形△APD比（1）中的△ABD面積大還是小？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)梯形的定義證明四邊形ACED是梯形，再利用S_陰影=S_梯形-S_△ACB-S_△DEB即可求面積；
（2）利用S_△ADP=S_梯形-S_△ACP-S_△DEP可求面積；
（3）由于a＜b，易求（b-a）²＞0，即可得

1

2

（a²+b²）＞ab，從而易求（

1

2

a+

1

2

b）²＞ab，即S_△ADP＞S_△ABD．

解答：解：（1）如右圖所示，
∵△ACB和△BED是等腰直角三角形，
∴∠C=∠E=90°，
∴∠C+∠E=180°，
∴AC∥DE，
∵a＜b，
∴四邊形ACED是梯形，
∴S_陰影=S_梯形-S_△ACB-S_△DEB=

1

2

（a+b）（a+b）-

1

2

a²-

1

2

b²=ab；

（2）同（1）一樣，
S_△ADP=S_梯形-S_△ACP-S_△DEP=

1

2

（a+b）（a+b）-

1

2

×

1

2

（a+b）•a-

1

2

×

1

2

（a+b）•b=（

1

2

a+

1

2

b）²；

（3）S_△ADP＞S_△ABD，
∵a＜b，
∴（b-a）²＞0，
∴b²+a²＞2ab，
∴

1

2

（a²+b²）＞ab，
∴（

1

2

a+

1

2

b）²=

1

2

（

1

2

a²+ab+

1

2

b²）＞ab，
∴S_△ADP＞S_△ABD．

點評：本題考查了梯形的判定、三角形的面積公式、梯形的面積公式．關鍵是知道S_陰影=S_梯形-S_△ACB-S_△DEB，解題就容易了．