Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點O是斜邊AB的中點，將邊長足夠大的三角板的直角頂點放在點O處，將三角板繞點O順時針旋轉一個角度α（0°＜α＜90°），記三角板的兩直角邊與Rt△ABC的兩腰AC、BC的交點分別為E、D，四邊形CEOD是旋轉過程中三角板與△ABC的重疊部分（如圖①所示）.那么，在上述旋轉過程中：

（1）線段CE與BD具有怎樣的數量關系？四邊形CEOD的面積是否發生變化？證明你發現的結論；

（2）當三角尺旋轉角度為____________時，四邊形CEOD是矩形；

（3）若三角尺繼續旋轉，當旋轉角度α（90°＜α＜180°）時，三角尺的兩邊與等腰Rt△ABC的腰CB和AC的延長線分別交于點D、E（如圖②所示）. 那么線段CE與BD的數量關系還成立嗎？若成立，給予證明；若不成立，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）結論：CE=BD，四邊形CEOD的面積不變，理由見解析；（2）45°；（3）成立，證明見解析

【解析】

（1）連接OC，易證得，根據即可證得結論；

（2）若四邊形CEOD是矩形，則，通過計算可求得旋轉角度α；

（3）證得∠OCE=∠OBD=135°和∠BOD=∠COE，易證得△OCE≌△OBD，從而證得結論.

（1）解：結論：CE=BD，四邊形CEOD的面積不變.

如圖，連接OC．

∵AC=BC，AO=BO，∠ACB=90°，

∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°，OC⊥AB，∠A=∠B=45°，

∴OC=OB，

∵∠EOD=90°，

∴∠COE+∠COD=90°

又∵OC⊥AB，

∴∠BOD+∠COD=90°，

∴∠BOD=∠COE，

在△OCE和△OBD中，，

∴△OCE≌△OBD，

∴CE=BD，

∴,

∵.

∴ 四邊形的面積不變，始終等于面積的一半.

（2）如下圖，

四邊形CEOD是矩形，

∴，

∵，

∴，

故答案為：；

（3）如圖，連接OC．

∵AC=BC，AO=BO，∠ACB=90°，

∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°，OC⊥AB，∠A=∠B=45°，

∴OC=OB，∠OCE=∠OBD=135°

∵∠EOD=90°，

∴∠BOD+∠BOE=90°，

又∵OC⊥AB

∠COE+∠BOE=90°，

∴∠BOD=∠COE，

在△OCE和△OBD中，

∴△OCE≌△OBD，

∴CE=BD.