Question

如圖，在△AFC中，AF=AC，B是CF的中點，AH平分∠CAF，作CD⊥AH于D。

(1)證明四邊形ABCD是矩形。

(2)若BD交AC于O，證明：OB//AF且OB= AF。

(3)若使四邊形ABCD是正方形，需添加一個條件，請直接寫出該條件。

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）根據矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形，已知AF=AC，CD⊥AH，所以求證∠BAD=90°，可以證明四邊形ADCE為矩形；

（2）根據∠EAC=∠AFC+∠ACF，AH是∠CAE的平分線，∠AFC=∠ACF，可以求證AD∥FB，由（1）的結論可知四邊形ADCE為矩形，B是CF的中點，所以有AD=FB，可以證明四邊形AFBD是平行四邊形，由三角形中位線定理可以證明OB∥AF且OB=AF；

（3）給出正確條件即可．我們可以假設當AB=FC，由已知可得，BC=FC，由（1）的結論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得四邊形ADCE為正方形．

試題解析：（1）證明：由題意∠F=∠ACF

∠CAH=∠EAH

又∠F+∠ACF=∠CAH+∠EAF

∴∠ACF=∠ECH

∴AD∥CF

又∠ABC=90° ∴∠BCD=90°

∠CDA=90°

∴四邊形ABCD是矩形

（2）∵四邊形ABCD是矩形

∴AO=OC，

又BF=BC

∴OBAF

（3）FB=BC

考點：矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質，及角平分線的性質