Question

2．如圖，拋物線y=a（x-1）²+h的頂點為M，與x軸正半軸交于點C，直線$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$與拋物線交于點A（2，3），與x軸交于點B，且AB=BC．

（1）求拋物線的函數關系式；
（2）若拋物線對稱軸與x軸交于點N，P為直線AB上一點，過點P作MN的平行線交拋物線于點Q，問：以M、N、P、Q四點為頂點構成的四邊形能否為等腰梯形？若能，求點P的坐標；若不能，請說明理由；
（3）將拋物線作適當平移，頂點M落在直線AB上，與x軸交于D、E兩點，是否存在這樣的拋物線，使得△MDE∽△BAC？若存在請求出平移后的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點B坐標，進一步求出AB的長度，之后求出點C坐標，代入拋物線求解即可；
（2）設出點P，Q的坐標，運用坐標表示相應線段長度，根據等腰梯形的相關性質建立方程，求解；
（3）首先根據頂點在直線AB上設出點M的坐標，進一步表示拋物線解析式，求出點D，E的坐標，根據相似建立方程求解即可．

解答 解：（1）直線y=$\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$，令y=0，解得：x=-2，
∴點B（-2，0），
由A（2，3），可求AB=$\sqrt{（2+2）^{2}+（3-0）^{2}}$=5，
∴BC=AB=5，
∵點B（-2，0），
∴點C（3，0），
∵y=a（x-1）²+h過點A（2，3），點C（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=a+h}\\{0=4a+h}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{h=4}\end{array}\right.$，
所以拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
（2）如圖1：

y=-x²+2x+3的對稱軸：x=1，頂點M（1，4），
由點P在直線AB上，設點P（m，$\frac{3}{4}m+\frac{3}{2}$），則點Q（m，-m²+2m+3），
根據等腰三角形性質可得：4-（-m²+2m+3）=$\frac{3}{4}m+\frac{3}{2}$，
解得：m=2（舍去），或m=$\frac{3}{4}$，
此時：$\frac{3}{4}m+\frac{3}{2}$的值為：$\frac{33}{16}$，
以M、N、P、Q四點為頂點構成的四邊形能為等腰梯形，點P的坐標：（$\frac{3}{4}$，$\frac{33}{16}$）；
（3）如圖2：連接MD，ME，過點M作MG⊥x軸，過點A作AH⊥x軸，

設點M（n，$\frac{3}{4}n+\frac{3}{2}$），則拋物線的解析式：y=$-（x-n）^{2}+\frac{3}{4}n+\frac{3}{2}$，
令y=0，得：0=$-（x-n）^{2}+\frac{3}{4}n+\frac{3}{2}$，
解得：x=n+$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$，或x=n-$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$，
∴點D（n-$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$，0），
∴DG=n-（n-$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$）=$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$，
由點A（2，3），點C（3，0），可得：AH=3，DH=3-2=1，
∴tan∠ACH=3，
要使得△MDE∽△BAC，有：∠MDH=∠ACH，
∴tan∠MDG=3，$\frac{MG}{DG}$=3，
∴$\frac{3}{4}n+\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$×3，
解得：n=10，或n=-2（舍去），
∴點M（10，9），
所以此時拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+9．

點評 此題主要考查二次函數的綜合問題，會求函數圖象與軸的交點，會運用點求解析式，知道設點坐標表示線段，尋找關系列出方程并準確求解是解題的關鍵．