Question

某商場經營某種品牌的童裝，購進時的單價是40元．根據市場調查，在一段時間內，銷售單價是60元時，銷售量是100件，而銷售單價每降低1元，就可多售出10件．
（1）寫出銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（2）寫出銷售該品牌童裝獲得的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（3）若童裝廠規定該品牌童裝銷售單價不低于56元，且商場要完成不少于110件的銷售任務，則商場銷售該品牌童裝獲得的最大利潤是多少元？

Answer 1

分析：（1）根據題意可得：銷售量y=100+10×（60-售價）=100+10×（60-x）=-10x+700；
（2）利潤W=單件利潤×銷售量y件，即W=（x-40）（-10x+700），整理即可；
（3）先利用二次函數的性質得到w=-10x²+1100x-28000的對稱軸為x=75，而-10x+700≥110，x≤59，得56≤x≤59，根據二次函數的性質得到當56≤x≤59時，W隨x的增大而減小，把x=56代入計算即可得到商場銷售該品牌童裝獲得的最大利潤．

解答：解：（1）由題意得：y=100+10×（60-x）=-10x+700，
故銷售量y件與銷售單價x元之間的函數關系式為y=-10x+700；

（2）由題意，得：w=（x-40）（-10x+700）=-10x²+1100x-28000，
答：W與x之間的函數關系式是w=-10x²+1100x-28000；

（3）由題意，得：

-10x+700≥110 x≥56

，
解得56≤x≤59，
W=-10x²+1100x-28000=-10（x-55）²+2250，
對稱軸為x=

1100

-2×(-10)

=55，
又∵a＜0，56≤x≤59在對稱軸右側，w隨x增大而減小．
∴當x=56時，W_最大=（56-40）（-10×56+700）=2240．
答：這段時間商場最多獲利2240元．

點評：本題考查了二次函數的應用：根據實際問題列出二次函數關系式，然后利用二次函數的性質，特別是二次函數的最值問題解決實際中的最大或最小值問題．