Question

已知拋物線C：y=x²-（m+1）x+1與x軸只有一個交點．
（1）求m的值；
（2）m＞0時，拋物線C向下平移n（n＞0）個單位后，再作關(guān)于y軸的軸對稱變換得到拋物線C₁，并且C₁過點（n，3），求C₁的函數(shù)關(guān)系式；
（3）m＜0時，拋物線C的頂點為M，且過點P（-2，y₀），連接OP，問在拋物線上是否存在一點Q，使以點Q和O、M、P中任意兩點構(gòu)成的三角形與△OPM的面積相等？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線與x軸只有一個交點，說明△=b²-4ac=0，依此得到關(guān)于m的方程，解方程即可求得m的值；
（2）由（1）可知，m＞0時，即m=1，將m=1代入y=x²-（m+1）x+1，得到拋物線C的解析式為y=x²-2x+1，根據(jù)上加下減的平移規(guī)律得到拋物線C向下平移n個單位后的解析式為y=x²-2x+1-n，由對稱性得出拋物線C₁：y=x²+2x+1-n，再將點（n，3）代入，運用待定系數(shù)法即可求出C₁的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由（1）可知，m＜0時，即m=-3，將m=-3代入y=x²-（m+1）x+1，得到拋物線C的解析式為y=x²+2x+1，利用配方法求出頂點M的坐標(biāo)為（-1，0），將點P（-2，y₀）代入，求出P的坐標(biāo)為（-2，1）．根據(jù)兩平行線之間的距離處處相等及同底等高的兩個三角形面積相等，分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)PQ∥OM時，S_△OMQ=S_△OPM，由對稱性可知點Q₁的坐標(biāo)是（0，1）；②當(dāng)OQ∥PM時，S_△PQM=S_△OPM，先求出直線OQ的解析式，再將直線OQ的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，組成方程組，解方程組求出點Q的坐標(biāo)；③當(dāng)MQ∥OP時，S_△OPQ=S_△OPM，先求直線MQ的解析式，再將直線MQ的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，組成方程組，解方程組求出點Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線C：y=x²-（m+1）x+1與x軸只有一個交點，
∴△=[-（m+1）]²-4=0，
解得m=1或m=-3；

（2）當(dāng)m＞0時，m=1，拋物線C的解析式為y=x²-2x+1．
向下平移n（n＞0）個單位后得到y(tǒng)=x²-2x+1-n，
由對稱性可知拋物線C₁：y=x²+2x+1-n．
∵C₁過點（n，3），
∴n²+2n+1-n=3，即n²+n-2=0，
解得n₁=1，n₂=-2（由題意n＞0，舍去），
∴n=1，
∴拋物線C₁：y=x²+2x；

（3）存在．
當(dāng)m＜0時，m=-3，拋物線C：y=x²+2x+1=（x+1）²，頂點M（-1，0）．
∵拋物線C過點P（-2，y₀），
∴y₀=（-2+1）²=1，
∴P（-2，1）．  
①當(dāng)PQ∥OM時，S_△OMQ=S_△OPM，
由對稱性可知點Q₁的坐標(biāo)是（0，1）；
②當(dāng)OQ∥PM時，S_△PQM=S_△OPM，
直線PM的解析式為y=-x-1，所以直線OQ的解析式為y=-x．
解方程組

y=x2+2x+1 y=-x

，
求出點Q的坐標(biāo)分別是Q₂（

-3+ 5

2

，

3- 5

2

），Q₃（

-3- 5

2

，

3+ 5

2

）；
③當(dāng)MQ∥OP時，S_△OPQ=S_△OPM，
直線OP的解析式為y=-

1

2

x，所以直線MQ的解析式為y=-

1

2

x-

1

2

．
解方程組

y=x2+2x+1 y=- 1 2 x- 1 2

，求出點Q的坐標(biāo)分別是（-

3

2

，

1

4

）．
綜上所述，存在符合條件的點共有4個，分別為Q₁（0，1）、Q₂（

-3+ 5

2

，

3- 5

2

）、Q₃（

-3- 5

2

，

3+ 5

2

）、Q₄（-

3

2

，

1

4

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，運用待定系數(shù)法求直線的解析式，函數(shù)解析式平移、翻折的規(guī)律，三角形的面積，直線與拋物線交點坐標(biāo)的求法，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．